1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común,
separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.
2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que
los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las
cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común
en cada grupo, sean exactamente iguales.
3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común
Polinomio.
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Ejemplos:
a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)
1º) Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by)
2º) Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)
3º) Formando factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es la solución.
b) 3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)
1º) Agrupando términos que tiene factor común: (3m^2 -6mn)+(4m-8n)
2º) Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n)
3º) Formando factores: (m-2n)(3m+4) <– Solución.
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EJERCICIO 91.
Factorar o descomponer en factores:
1) a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)
1º) Agrupar términos con factor común: (a^2+ab)+(ax+bx)
2º) Factorar por el factor común: a(a+b)+x(a+b)
3º) Formando factores: (a+b)(a+x) <–Solución
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2) am-bm+an-bn = (a-b)(m+n)
1º) Agrupar términos con factor común: (am-bm)+(an-bn)
2º) Factorar por el factor común: m(a-b) +n(a-b)
3º) Formando factores: (a-b)(m+n) <– Solución.
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3) ax-2bx-2ay+4by = (a-2b)(x-2y)
1º) Agrupar términos con factor común: (ax-2bx)-(2ay-4by)
2º) Factorar por el factor común: x(a-2b)-2y(a-2b) =
3º) Formando factores: (a-2b)(x-2y) <– Solución.
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4) a^2x^2 -3bx^2 +a^2y^2 -3by^2 = (a^2 -3b)(x^2 +y^2)
1º) Agrupar términos con factor común: (a^2x^2 -3bx^2)+(a^2y^2 -3by^2)
2º) Factorar por el factor común: x^2(a^2 -3b)+y^2(a^2 -3b)
3º) Formando factores: (a^2 -3b)(x^2 +y^2) <– Solución.
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5) 3m-2n-2nx^4+3mx^4 = (3m -2n)(1 +x^4)
1º) Agrupar términos con factor común: (3m+3mx^4) -(2n+2nx^4)
2º) Factorar por el factor común: 3m(1+x^4) -2n(1+x^4)
3º) Formando factores: (3m-2n)(1+x^4) <– Solución.
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6) x^2 -a^2 +x -a^2x = (x-a^2)(x+1)
1º) Agrupar términos con factor común: (x^2 +x) -(a^2 +a^2x)
2º) Factorar por el factor común: x(x+1) -a^2(1+x)
3º) Formando factores: (x+1)(x-a^2) = (x-a^2)(x+1) <– Solución.
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7) Factorar 4a3-1-a2+4a
1°) Agrupando términos por el factor común : (4a3-a2)+(4a-1)
2°) Factorando términos por el factor común : a2(4a-1)+1(4a-1)
3°) Formando factores : (a2+1)(4a-1) <– Solución.
Nota: Al factorizar (4a-1), su factor comun es “1″; por eso queda
en 1(4a-1).
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9) 3abx^2-2y^2-2x^2+3aby^2 = (3ab -2)(x^2 +y^2)
1º) Agrupar términos con factor común: (3abx^2 -2x^2)+(3aby^2 -2y^2)
2) Factorar por el factor común: x^2(3ab -2)+y^2(3ab -2)
3º) Formando factores: (3ab -2)(x^2 +y^2) <– Solución.
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19) 4am3-12amn -m2 +3n
> Agrupando términos por factor común: (4am3-m2) – (12amn+3n)
< Factorando por el factor común: m2(4am-1) -3n(4am-1)
< Factorando factores: (m2-3n)(4am-1) <– Solución.
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20) 20ax-5bx-2by+8ay = (4a -b)(5x +2y)
1º) Agrupar términos con factor común: (20ax -5bx)+(8ay -2by)
2º) Factorar por el factor común: 5x(4a -b)+2y(4a -b)
3º) Formando factores: (4a-b)(5x+2y) <– Solución.
Trinomio cuadrado perfecto:
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:
Ambas son respuestas aceptables.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplos
:
:
| En un trinomio cuadrado perfecto. |
| Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. |
| 1) | Un trinomio ordenado con relación a una letra |
| 2) | Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos |
| 3) | El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. |
| Procedimiento para factorizar |
| 1) | Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. |
| 2) | Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (a+ b)(a + b). |
| 3) | Este producto es la expresión factorizada (a + b)2. |
| a2 | - | 2ab | + | b2 | = | (a - b) 2 |
 | | |||||
| a | b |
| Procedimiento para factorizar |
| 1) | Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. |
| 2) | Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces |
| (a - b)(a - b). | |
| 3) | Este producto es la expresión factorizada (a - b)2. |
| Luego | x2 + 10x + 25 | = | (x + 5)2 |
| Luego | 49y2 + 14y + 1 | = | (7y + 1)2 |
| Luego | 81z2 - 180z + 100 | = | (9z - 10)2 |
| 4a8 | 32a4b | |||||||
| Ejemplo 4: | Factorizar | --- | - | ------ | + | 64b2 | ||
| 49 | 7 | |||||||
| 4a8 | 2a4 | ||
| La raíz cuadrada de : | -- | es | -- |
| 49 | 7 |
| 4a8 | 32a4b | 2a4 | |||||||||
| Luego: | Factorizar | --- | - | ------- + | 64b2 | =( | --- | - | 8b)2 | ||
| 49 | 7 | 7 | |||||||||
Si el ejercicio fuera así:
Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25
La raíz cuadrada de : x2 es x
La raíz cuadrada de : 25 es 5
El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x
Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1
La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y
La raíz cuadrada de : 1 es 1
El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y
Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100
La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z
La raíz cúbica de : 100 es 10
El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z
La raíz cuadrada de : 64b2 es 8b
El doble producto de las raíces: 2(2a4 / 7)(8b) es 32a4b / 7
Trinomio de 2 grado:
Tema: 9.3. Factorización de trinomios de segundo grado.
Objetivos:
El trinomio de segundo grado, es el resultado de multiplicar dos binomios con un término en común.
Ejemplo:
Primer paso.
Cuando el coeficiente de la literal de 2º grado es 1.
Para factorizar el trinomio de 2º grado.
a) Se escriben dos paréntesis.
b) Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
c) Se buscan 2 números que multiplicados entre sí den el tercer término y que sumados entre sí den el coeficiente del segundo término.
Ejemplo:
Segundo paso.
Descomposición en factores de un trinomio de la forma ax2+px+q.
Este tipo de polinomios se generan cuando el término de segundo grado, tiene coeficiente diferente de 1.
1) Para hacer esta factorización se llevan a cabo los siguientes pasos:
Ejemplo:
Descomponer en factores el siguiente polinomio.
1) 10x2+x-2
2) 7x2+23x+6
3) 15x2-31x+10
15x2-25x-6x+10
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