Simplificar:
Así, me encuentro con que el polinomio (x - 3) está "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Los puedo simplificar entre sí
Pero en este ejemplo, en el numerador, el polinomio (x - 3)
está elevado a una potencia. (x - 3) está elevado a la potencia 2, o sea "al cuadrado" (x - 3)2. En un caso así puedo también simplificar, y lo hago tachando el 2 de la potencia, y tachando el otro (x - 3) que no está al cuadrado. Seguramente en este punto querrás saber por qué hago eso, para saber que hacer en casos similares y con otras potencias, pero primero terminemos el ejercicio y luego vendrá la justificación de lo que hicimos.
Al tachar el "2" del cuadrado y el (x - 3) de abajo, la fracción queda así:
Luego, no escribo lo que taché, y el resultado final es:
Ahora ¿por qué se tacha el 2? ¿por qué no se tacha el (x - 3) de arriba?. Bueno, pensemos que (x - 3)2 significa (x - 3) multiplicado dos veces por sí mismo (concepto de potencia). Es decir que:
(x - 3)2 = (x - 3).(x - 3)
Entonces lo voy a poner así en la fracción:
Ahora ya no se ve a (x - 3)2 como un cuadrado, sino como dos polinomios iguales multiplicándose. Como hicimos en los ejemplos anteriores, podemos "tachar" uno de los (x - 3) de arriba con uno de los de abajo. Así:
Así, si seguimos como en los anteriores ejemplos, ahora no escribimos lo que tachamos y llegamos al mismo resultado:
Cuando los polinomios ya factorizados quedan como potencias de un binomio (potencia 2 si usé el Caso Trinomio Cuadrado Perfecto, potencia 3 si usé el Caso Cuatrinomio Cubo Perfecto), tendré que recordar cómo simplificar entre sí en una división de potencias de la misma base (recordemos cómo era eso). Y si no, podemos "desarmar" la potencia como hice allí arriba, y así ya no verlo como potencia sino como multiplicación, y luego tachando "uno con uno".
Sumas:
Para sumar dos expresiones algebraicas, estas tienen que tener la misma parte literal.
Por supuesto que no se pueden sumar 3 naranjas más 4 papas, porque daría 7 ¿ 7 qué ?
Pero se puede hacer: 3 naranjas + 4 papas + 10 naranjas + 2 papas = 13 naranjas + 6 papas.
Entonces se puede sumar: 3 xz + 4 x³ + 10 xz + 2 x³ = 13 xz + 6 x³.
Para sumar dos expresiones algebraicas, tienen que tener la misma parte literal.
Sumamos papas con papas y naranjas con naranjas. Se deja la parte literal igual,intacta, y se suman sus coeficientes.
Por supuesto que no se pueden sumar 3 naranjas más 4 papas, porque daría 7 ¿ 7 qué ?
Pero se puede hacer: 3 naranjas + 4 papas + 10 naranjas + 2 papas = 13 naranjas + 6 papas.
Entonces se puede sumar: 3 xz + 4 x³ + 10 xz + 2 x³ = 13 xz + 6 x³.
Para sumar dos expresiones algebraicas, tienen que tener la misma parte literal.
Sumamos papas con papas y naranjas con naranjas. Se deja la parte literal igual,intacta, y se suman sus coeficientes.
Cuidado entonces que x + x NO es x². x + x = 2x.
1 naranja + 1 naranja no es una naranja cuadrada sino que son 2 naranjas.
términos semejantes:
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.
Por ejemplo:
6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)
1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)
0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.
Recordando cómo se suman los números enteros:
Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual signo y números con signo distinto.
Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.
Ej : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)
12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)
Ej : – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto
5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)
– 14 + 34 = 20
Recordando cómo se resta:
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente.
Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el signo de la resta en suma
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por su signo contrario
Ej: – 3 – 10 = – 3 + – 10 = – 13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)
19 – 16 = 19 + – 16 = 19 – 16 = 3
Ejemplo 1:
xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 Hay dos tipos de factores literales: xy3 y x2y
Hay también una constante numérica: 6
Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de xy3 con 5xy3 y –3 x2y con –12 x2y.
Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un número significa que es 1 (x3y = 1 xy3).
xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 = 6 xy3 + – 15 x2y + 6
1 + 5 = 6
– 3 – 12 = – 15
Ejemplo 2:
3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 = 25ab + 1abc – 30
Operaciones:
3 + 8 +14 = 25 ab
– 5 + 6 = + 1 abc
– 10 – 20 = – 30
monomios y polinomios.
Se llama monomio a una expresión algebraica entera en la cual la variable, por ejemplo x, y o z, esta afectada solamente por operaciones de potencia de exponente natural y multiplicación por números reales. Por ejemplo, son monomios 4xz, 17 x² , -12 x³yz².La suma algebraica, esto es, suma o resta de monomios, se llama polinomio.
B(x) = 5x³-8x²+14x-7 es una expresión algebraica con 4 términos. Más precisamente, es un polinomio de tercer grado. Está formado por 4 monomios o términos; 5x³ es un término de grado 3, -8x² es el término de segundo grado,14x es de primer grado y -7 es el término independiente, de grado cero.
En el monomio 5x³ la parte literal es x³ y el coeficiente es 5 .
En el monomio -8x² la parte literal es x² y el coeficiente es -8
3x + 4 x² no se puede "sumar". Esta expresión ya está reducida a su mínima
expresión.
En cambio 2x + 4 x² + 6 - 9x + x² se puede reducir y ordenar, quedando 5x² - 7x + 6
Productos:
Recordemos ahora que para multiplicar potencias de la misma base, se deja esa base y se suman los exponentes.
Hemos multiplicado 4 por 5 = 20 y hemos sumado exponentes 2 + 1 = 3
Recordemos que en el término 5 x , el coeficiente es 5 y el exponente de x es 1 .
También debemos recordar la regla de los signos:
En cambio 2x + 4 x² + 6 - 9x + x² se puede reducir y ordenar, quedando 5x² - 7x + 6
Productos:
Recordemos ahora que para multiplicar potencias de la misma base, se deja esa base y se suman los exponentes.
4 x² . 5 x = 20 x³
Hemos multiplicado 4 por 5 = 20 y hemos sumado exponentes 2 + 1 = 3
Recordemos que en el término 5 x , el coeficiente es 5 y el exponente de x es 1 .
También debemos recordar la regla de los signos:
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