formula general de las ecuaciones cuadraticas

Ecuación cuadrática/Fórmula general

Consideremos la ecuación general de segundo grado (ecuación cuadrática) que tiene la forma: .

Resolver esta ecuación implica encontrar el valor o los valores de  que cumplen con la expresión, si es que existen.

Cuando nos enfrentamos por primera vez en la vida a esta clase de problemas, la primera forma en la que se intenta dar una respuesta es probando con varios números hasta "atinarle" (ya sea por que nos sonría la buena fortuna, o por aproximación).

Algunos incluso prueban número tras número hasta hallar la solución (Método de la "Fuerza Bruta").

Después, conforme nos vamos enfrentando a mas problemas que involucran ecuaciones cuadráticas, descubrimos algunos métodos de solución. De los primeros que aprendemos (por simplicidad) están el "Método Gráfico" (Realizar la gráfica correspondiente a la ecuación cuadrática igualada a cero y observar en que abscisas la gráfica "toca o pasa" por el eje horizontal del plano cartesiano). Otro método que aprendemos es el "Método de Factorización" (Trabajar con la expresión cuadrática igualada a cero hasta dejarla expresada como multiplicación de otras dos expresiones algebraicas, y encontrar "por simple observación" los valores que hacen que estas últimas dos ecuaciones sean iguales a cero).

Las desventajas de estos métodos es que implican trabajo excesivo, y no se garantiza que se encuentre la solución de la ecuación (al menos una solución "Real").

El último método que se estudia para resolver ecuaciones de segundo grado es la "Fórmula General".

Analizando la raíz cuadrada, se llega a las siguientes conclusiones:

Si  es menor que  los resultados de X serán dos valores con parte real y parte imaginaria. Es decir, el resultado sera un número complejo.

Si  es mayor que  obtendremos dos valores distintos de X reales.

Y si  es igual que  obtendremos dos valores de X reales e iguales.

Al término  se le llama discriminante.

tomando en cuenta el orden de los términos: "a","b"y"c"=x²-6x+9

Introducción

Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica  y luego resolvemos x, encontramos que .  Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática.

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede ser usada para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma .

Derivando la Fórmula Cuadrática

Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general, , para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado:

·         Empezar con una ecuación de la forma .

·         Reescribir la ecuación de forma que  quede despejada.

·         Completar el cuadrado sumando a ambos lados.

·         Reescribir como el cuadrado de un binomio y resolver x.

¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ? Inténtalo antes de continuar con el siguiente ejemplo. Pista: Cuando trabajas con la ecuación general , existe una complicación que consiste en que el coeficiente de  no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace que se compliquen algunas de las expresiones, pero si tienes cuidado, todo resultará bien, y al final, ¡obtendrás la fórmula cuadrática!

Ejemplo
Problema	Completar el cuadrado de  para obtener la fórmula cuadrática.
			Dividir ambos lados de la ecuación entre a, para que el coeficiente de  sea 1
			Reescribir de tal forma que el lado izquierdo tenga la forma  (aunque en este caso bx es ).
			Sumar  a ambos lados para completar el cuadrado
			Escribir el lado izquierdo como un binomio cuadrado
			Evaluar como .
			Escribir las fracciones del lado derecho usando un común denominador
			Sumar las fracciones de la derecha
			Sacar la raíz cuadrada de ambos lados. ¡Recuerda que debes conservar ambas raíces la positiva y la negativa!
			Restar  de ambos lados para despejarx.
			El denominador bajo el radical es un cuadrado perfecto, entonces .
			Sumar las fracciones ya que tienen un común denominador
Solución

Y ahí la tenemos, la fórmula cuadrática.

Resolviendo una Ecuación Cuadrática usando la Fórmula Cuadrática

La fórmula cuadrática funcionará para cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en su forma estándar, . Para usarla, sigue los siguientes pasos:

·         Primero transforma la ecuación a la forma estándar

·         Identifica los coeficientes, a, b, y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c están siendo restados.

·         Sustituye los valores de los coeficientes en la fórmula cuadrática

·         Simplifica lo más posible.

·         Usa el ± enfrente del radical para separar la solución en dos valores: uno en el que la raíz cuadrada se suma, y el otro donde la raíz cuadrada se resta.

·         Simplificar ambos valores para obtener las posibles soluciones.

Son bastantes pasos. Vamos a intentarlo:

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
			a = 3, b = -11,  c = -4 Nota que la resta de signos significa que los coeficientes b y c son negativos
			Sustituir los valores en la fórmula cuadrática
			Simplificar, teniendo cuidado con los signos
			Simplificar más
			Simplificar el radical: .
	o		Separar y simplificar para encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática. Nota que en una, 13 es sumado y en la otra, 13 es restado
Solución	x = 4 o

La solución para la ecuación cuadrática nos da las coordenadas en x de las intersecciones en x, o las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces de la ecuación cuadrática son los valores donde la parábola cruza el eje x. Podemos comprobar esto observando la gráfica de la función y ver que las raíces son (4, 0) y (, 0).

El ejemplo anterior muestra una ecuación cuadrática con dos soluciones. A continuación tenemos un ejemplo con una solución. Compara los radicales simplificados de los dos ejemplos:

Ejemplo
Problema	Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación
			Restar 6x de cada lado y sumar 16 a ambos lados para transformar la ecuación a su forma.
			Identificar los coeficientes a, b, y c. x2= 1x2, entonces a = 1. Como 8x está siendo restado, b es negativo. a = 1, b = -8, c = 16.
			Aplicar la fórmula cuadrática
			Simplificar
			Como la raíz cuadrada de 0 es 0, y sumar o restar 0 dan el mismo resultado, existe sólo un valor posible
Solución	x = 4

Esta ecuación cuadrática sólo tiene una solución, por lo que la gráfica de la función  tocará el eje x una vez. Tiene una sola raíz.

Algo que debemos notar — la ecuación cuadrática  puede ser factorizada como . Entonces, a pesar de que la fórmula cuadrática nos dio la solución, hubiera sido más fácil factorizarla. Vale la pena revisar si la ecuación cuadrática puede ser fácilmente factorizada antes de aplicar la fórmula cuadrática.

Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación . A) x = 2 B) x =11, x = -9 C) ,  D) ,  Mostrar/Ocultar la Respuesta

El Discriminante

Una ecuación cuadrática puede tener dos raíces, una raíz, o ninguna raíz. En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el símbolo radical determina cuántas soluciónes tendrá la fórmula. Esta expresión , , se llama el discriminante de la ecuación .

Pensemos en cómo  afectará la evaluación de , y como nos ayuda a determinar el conjunto solución.

·         Si , entonces el número debajo del radical será un valor positivo. Siempre podemos calcular la raíz cuadrada de un número positivo, entonces al evaluar la fórmula cuadrática resultarán dos soluciones (una sumando la raíz cuadrada positiva, y la otra restándola).

·         Si , entonces estaremos calculando la raíz cuadrada de 0, y el término "±" se deshace de la evaluación de la fórmula cuadrática. (Sumar cero y restar cero nos da el mismo resultado.) Esto será una solución.

·         Si , entonces el número debajo del radical será un valor negativo. Como no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo (por lo menos no usando el sistema de números reales), no podemos seguir evaluando la fórmula. Entonces no habrá soluciones.

Ejemplo
Problema	Usar el discriminante para determinar si la ecuación cuadrática  tiene dos, una, o ninguna solución.
			Evaluar   a = 1, b = -4, y c = 10.
			El resultado es un número negativo. El discriminante es negativo, por lo que la ecuación cuadrática no tiene solución.
Solución	no hay solución

Supón que una ecuación cuadrática tiene un discriminante igual a cero. ¿Cuál de las siguientes declaraciones es siempre verdadera? A) La ecuación tiene dos soluciones y la gráfica de la parábola abrirá hacia arriba. B) La ecuación tiene una solución y la gráfica de la parábola abrirá hacia abajo. C) La ecuación tiene una solución y no podemos decir nada sobre la dirección de la parábola. D) La ecuación no tiene solución y no podemos decir nada sobre la dirección de la parábola. Mostrar/Ocultar la Respuesta

Sumario

La fórmula cuadrática, , se obtiene al completar el cuadrado de la ecuación cuadrática .  La fórmula puede ser usada para encontrar la solución de una ecuación cuadrática e identificar cualquier raíz posible, o las intersecciones en x, de la función.

El discriminante de una fórmula cuadrática es la cantidad debajo del radical , . Determina cuántas soluciones existen para la ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, hay dos raíces. Si es cero, existe una raíz. Si el discriminante es negativo, no existen raíces.