Matemáticas 3°F Melisa Dzul

jueves, 13 de febrero de 2014

traslacion de figuras

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector ${\vec {u}}$ , tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P', tal que:

${\begin{cases}T_{{\vec {u}}}:\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}&\overrightarrow {PP'}={\vec {u}}\\P\mapsto P'=T(P)=P+{\vec {u}}\end{cases}}$

Índice

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Definición de traslaciones[editar]

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

$d(P,Q)=d(T(P),T(Q))=d(P',Q')\;$

Más aún se cumple que:

$\overrightarrow {PQ}=\overrightarrow {P'Q'}$

Notas:

La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

Representación matricial[editar]

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Así un vector tridimensional w = (w_x, w_y, w_z) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas comow = (w_x, w_y, w_z, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

$T_{{{\mathbf {v}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

$T_{{{\mathbf {v}}}}{\mathbf {p}}={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\mathbf {p}}+{\mathbf {v}}.\!$

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento

$T_{{{\mathbf {v}}}}^{{-1}}=T_{{-{\mathbf {v}}}}.\!$

Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

$T_{{{\mathbf {u}}}}T_{{{\mathbf {v}}}}=T_{{{\mathbf {u}}+{\mathbf {v}}}}.\!$

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente traslación.

regla de la suma

Regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismo tiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de conjuntos

Ejemplos ilustrativos

1) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estándar de 52 cartas y B sacar una carta con corazón rojo. Calcular la probabilidad de sacar un As o un corazón rojo o ambos en una sola extracción.

Solución:

A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazón rojo.

Las probabilidades son:

Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

2) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Solución:

O también, realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

3) En una clase, 10 alumnos tienen como preferencia solamente la asignatura de Matemática, 15 prefieren solamente Estadística, 20 prefieren Matemática y Estadística y 5 no tienen preferencia por ninguna de estas asignaturas. Calcular la probabilidad que de un alumno de la clase seleccionado al azar tenga preferencia por Matemática o Estadística o ambas asignaturas.

Solución:

Realizando un diagrama de Venn-Euler se obtiene:

Simbología:

S = espacio muestral

A= Matemática

B = Estadística

a = Solamente Matemática

b = Solamente Estadística

c = Matemática y Estadística

d = Ninguna de las dos asignaturas

Datos y cálculos:

Entonces, aplicando la fórmula de la probabilidad teórica se obtiene:

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos88/regla-general-adicion-probabilidades/regla-general-adicion-probabilidades.shtml#ixzz2tDKBYquU

simetria central

Dos puntos P y P’ son simétricos respecto del centro de simetría O cuando O es el punto medio del segmento.

La simetría respecto de un punto se llama simetría central y los puntos correspondientes, homólogos. En una simetría central, los segmentos homólogos son iguales y la medida de los ángulos correspondientes también son iguales.

Ejemplo 1:

Dibuja el triángulo simétrico respecto del centro O del triángulo dado ABC.

Cualquier punto cumple las dos siguientes condiciones:

A y A’ están alineados: la recta que los une pasa por O.
La distancia de O al punto A es igual que la de O 2.1 Con el mismo centro

Simetría central y coordenadas[editar]

Estos triángulos son simétricos respecto del centro O.

Para pasar de un punto a su simétrico se cambia el signo de las coordenadas:

Si P =(x,y) entonces P’=(-x,-y).

Coordenadas de los puntos	Coordenadas de sus simétricos
A=(3, 1)	A=(-3, -1)
B=(1, 2)	B=(-1, -2)
C=(2, -1)	C=(-1, 2)

Dos puntos P=(x,y) y P’=(x’,y’) simétricos respecto de origen de coordenadas tienen sus abscisas y ordenadas opuestas.

Las ecuaciones de la simetría central son:

x’ = x , y’ = -y

Composición de simetrías[editar]

Con el mismo centro[editar]

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura.

Con distinto centro[editar]

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación. dibujo

Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.

Coordenadas mediante una simetría de centro O(0,0)

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(0,0) tiene de coordenadas:

Una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°.

P' = (-x, -y)

x' = -x y' = -y

Coordenadas mediante una simetría de centro O(a, b)

Un punto P' homólogo de un punto P(x,y) mediante una simetría central de centro O(a ,b) tiene de coordenadas:

P' = (-x+ 2a, -y+ 2b)

x' = -x + 2a

y' = -y + 2b

Composición de simetrías centrales

1 Con el mismo centro

Como una simetría de centro O equivale a un giro de centro O y amplitud 180°, al aplicar otra transformación el ángulo será de 360°, por lo que se obtiene la misma figura, lo que se llama involución. Es una transformación involutiva.

2 Con distinto centro

La composición de dos simetrías centrales con distinto centro es una traslación.

3 Centro de simetría

Un punto es centro de simetría de una figura si define una simetría central.

simetria axial

La simetría axial (también llamada rotacional o radial o cilíndrica) es la simetríaalrededor de un eje, de modo que un sistema tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos tomados a partir de cierta mediatriz y conteniéndolo presentan idénticas características.También puede decirse que es una isometría indirecta e involutiva.

Dada una recta se llama simetría axial de eje al movimiento que transforma a un punto P en otro punto P' verificando que:

El segmento PP' es perpendicular a $\scriptstyle e$ .
Los puntos P y P' equidistan del eje $\scriptstyle e$ .

Dicho de otra forma el eje $\scriptstyle e$ es la mediatriz del segmento PP'

La simetría axial no solo se presenta entre un objeto y su reflexión, pues muchas figuras que mediante una línea pueden partirse en dos secciones que son simétricas con respecto a la línea. Estos objetos tienen uno (o más) ejes de simetría.

La simetría axial se da cuando los puntos de una figura coinciden con los puntos de otra, al tomar como referencia una línea que se conoce con el nombre de eje de simetría. En la simetría axial se da el mismo fenómeno que en una imagen reflejada en el espejo.

A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, A’ es homólogo de A, B’ es homólogo de B, y C’ es homólogo de C. Además, las distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura simétrica. En este caso: La simetría axial se puede dar también en un objeto con respecto de uno o más ejes de simetría.

Si se doblara la figura sobre el eje de simetría trazado, se podría observar con toda claridad que los puntos de las partes opuestas coinciden, es decir, ambas partes son congruentes.

homotecia

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Definición[editar código]

Esquema de operación de una homotecia, en el plano euclídeo.

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo $\scriptstyle {\mathbb {K}}$ . Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k, denotada $\scriptstyle h_{{C,k}}$ envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

(1a) $M'-C=k(M-C)\,$

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

(1b) $M'=kM+(1-k)C\,$

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

${\begin{bmatrix}m'_{x}\\m'_{y}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k&0&(1-k)c_{x}\\0&k&(1-k)c_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m_{x}\\m_{y}\\1\end{bmatrix}}$

Donde: $M'=(m'_{x},m'_{y})\,$ , $M=(m_{x},m_{y})\,$ y $C=(c_{x},c_{y})\,$ .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, una homotecia de centro el punto C y razón el número real k ≠ 0, es una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto P otro punto P′ tal que (el vector es igual al resultado de multiplicar el vector por el número k). Si k es positivo, P′ está en la semirrecta de origen C que pasa por P.

Propiedades[editar código]

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
Si k ≠ 0, $\scriptstyle h_{{C,k}}$ admite como trasformación recíproca $\scriptstyle h_{{C,1/k}}$ (cuando k = 0, no es biyectiva).
Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: $\scriptstyle h_{{C,k}}$ o $\scriptstyle h_{{C,k'}}$ = $\scriptstyle h_{{C,k\cdot k'}}$ .
Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las traslaciones forman un grupo.

Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
|k| > 1 implica una ampliación de la figura.
|k| < 1 implica una reducción.
k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original.

Homotecias en el plano real[editar código]

En esta sección, los escalares serán números reales.

Una homotecia generalizada en el plano es una transformación del plano en sí mismo en donde una recta y su homóloga son paralelas. De esta definición, se sigue fácilmente que las homotecias conservan ángulos, es decir son transformaciones conformes del plano, que el conjunto de homotecias forman un 'grupo' y que las traslaciones son casos particulares de las homotecias.

Consideremos la homotecia en la cual la recta OA se transforma en la recta O'B, siendo O' el homólogo de O y B el homólogo de A. Necesariamente, las rectas OO' y AB son invariantes en esta homotecia y el punto H1, centro de la homotecia, es invariante. En esta homotecia la circunferencia de centro O y radio OA se transforma en la circunferencia de centro O' y de radio O'B y la razón de la homotecia es la razón (positiva) de los segmentos O'B y OA.

Si por el contrario, el punto A se transforma en B' entonces la recta AB' es invariante y es el punto H2 el centro de homotecia. En este caso, la razón de la homotecia es negativa.

Ejes de homotecia[editar código]

Dadas dos circunferencias, éstas siempre se pueden considerar como homotéticas una de la otra.

En la figura, la circunferencia S2 puede considerarse homotética de s1 bien es en la homotecia de razón positiva, con centro en P1, o de razón negativa, con centro de homotecia en N1.

Consideremos las homotecias, una con centro en P1 en la cual la circunferencia S2 es homotética de la circunferencia s1, y la homotecia de centro P3 en la que la circunferencia s3 es homotética a la circunferencia s2. La composición de estas dos homotecias es la homotecia de centro en P2 que transforma la circunferencia s1 en la circunferencia s3. Es por esta razón que los centros de homotecia positivos, P1, P2 y P3 están alineados. En general, dadas tres circunferencias existen seis centros de homotecia, alineados tres a tres sobre cuatro rectas.

Estas rectas son las llamadas ejes de homotecia de las tres circunferencias dadas.

La homotecia directa[editar código]

La homotecia es directa, si las dos figuras están situadas a un mismo lado del centro de homotecia
DEFINICIÓN DE HOMOTECIA: Se llama homotecia de centro O y razón k (distinto de cero) a la transformación que hace corresponder a un punto A otro A´, alineado con A y O, tal que: OA´=k·OA. Si k>0 se llama homotecia directa y si k<0 se llama homotecia inversa. Definición de Semejanza:Dos figuras son SEMEJANTES si tienen la misma forma pero distinto tamaño.
Tipos de homotecia: