traslacion de figuras

En geometría, una traslación es una isometría en el espacio euclídeo caracterizada por un vector , tal que, a cada punto P de un objeto o figura se le hace corresponder otro punto P', tal que:

Índice

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• 1 Definición de traslaciones
• 2 Representación matricial
• 3 Generalización
• 4 Véase también

Definición de traslaciones[editar]

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

Más aún se cumple que:

Notas:

1. La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.
2. La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

Representación matricial[editar]

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Así un vector tridimensional w = (w_x, w_y, w_z) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas comow = (w_x, w_y, w_z, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento

Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente traslación.