representaciones de tabulacion y graficacion

Presentacion de tabulacion de ecuaciones Presentation Transcript 1. Ecuaciones Lineales • Estudiaremos gráficas que sus ecuaciones son líneas rectas. • La primera a considerarse son del tipo y = mx + b, donde m y b son constantes. • Estudiaremos los efectos de m y b en las gráficas de ecuaciones del tipo y = mx + b. 2. La Constante b: El Intercepto-y • Exploramos los efectos de la constante b, a través de los siguientes ejemplos: 1. Trace la gráfica y = 2x y y = 2x + 3 usando el mismo conjunto de ejes. Compare las gráficas. Primero hacemos la tabla de solución de ambas ecuaciones. x y y y = 2x y = 2x + 3 0 0 3 1 2 5 -1 -2 1 2 4 7 -2 -4 -1 3. La Constante b: El Intercepto-y 1. Continuación … 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y Luego, trazamos estos puntos. Dibujamos una línea roja para y = 2x y una línea azul para y = 2x + 3. Notamos que la gráfica de y = 2x + 3 es simplemente la gráfica de y = 2x corrida, o trasladada, 3 unidades hacia arriba. Las líneas son paralelas. y = 2x + 3 y = 2x 3 unidades subiendo 4. La Constante b: El Intercepto-y 2. Trace la gráfica y en el mismo conjunto de ejes. Compare las gráficas. 1 3 y x= 1 2 3 y x= − x y y 0 0 -2 3 1 -1 -3 -1 -3 6 2 0 1 3 y x= 1 2 3 y x= − Hacemos la tabla de soluciones de ambas ecuaciones. Usando múltiplos de 3, evitamos fracciones. 5. La Constante b: El Intercepto-y 2. Continuando … 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y Trazamos estos puntos. Dibujando una línea para y = ⅓ x y una línea para y = ⅓ x – 2, encontramos que la gráfica de y = ⅓ x – 2 es simplemente la gráfica de y = ⅓ x corrida, o trasladada, hacia abajo 2 unidades. 2 unidades bajando 1 3 y x= 1 2 3 y x= − 6. La Constante b: El Intercepto-y • Noten que en el ejemplo 1, la gráfica de y = 2x + 3 paso por el punto (0, 3) y en el ejemplo 2, la grafica de y = ⅓ x – 2 paso por el punto (0, -2). • En general, la gráfica de y = mx + b es una línea paralela a y = mx, pasando a través del punto (0, b). • El punto (0, b) se llama el intercepto-y porque es el punto en el cual la gráfica cruza el eje y. • Frecuentemente es conveniente referirse al número b como el intercepto-y. • La constante b tiene el efecto de mover la gráfica de y = mx hacia arriba o hacia abajo IbI unidades para obtener la gráfica de y = mx + b. 7. La Constante b: El Intercepto-y 3. Encuentre el intercepto-y de: y = -5x +4 . 4. Encuentre el intercepto-y de : y = 6.3x – 7.8 . y = -5x + 4 (0, 4), o simplemente 4, es el intercepto-y y = 6.3x – 7.8 (0, -7.8), o simplemente -7.8, es el intercepto-y 8. La Constante m: Pendiente • La pendiente de una línea conteniendo los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es dada por: y x (x1, y1) (x2, y2) (y2 – y1) (x2 – x1) 2 1 1 2 2 1 1 2 elevación m corrida y y y ycambio en y cambio en x x x x x = − − = = = − − 9. La Constante m: Pendiente 5. Trace la gráfica conteniendo los puntos (-4, 3) y (2, -5) y encuentre la pendiente. 1 2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 x y Yendo de (-4, 3) a (2, -5), vemos que el cambio en y, o la elevación, es -5 - 3 = -8. El cambio en x, o la corrida, es 2 – (-4) = 6 . corrida elevación (o “caída”) (-4, 3) (2, -5)( ) 2 1 2 1 5 3 2 8 6 3 4 4 y y m x x − = − − = − − = = − − − 10. La Constante m: Pendiente 6. Encuentre la pendiente y el intercepto-y de y = 5x – 4 . Dado que la ecuación esta dada en la forma y = mx + b, simplemente leemos la pendiente y el intercepto-y de la ecuación. y = 5x - 4 La pendiente es 5. El intercepto-y (0, -4). 11. La Constante m: Pendiente 7. Encuentre la pendiente y el intercepto-y de 2x + 3y = 8 . Primero resolvemos por y para poder leer fácilmente la pendiente y el intercepto-y. 2 3 8 3 2 8 3 2 8 3 2 3 8 3 3 x y y x y x y x + = = − + − + − = = + La pendiente es El intercepto-y es 2 3 − 0, 8 3    ÷  

tabulacion y graficacion

Triángulos y cuadriláteros

nociones de probabilidad

video de probabilidad

PROBABILIDAD 1 Y 2

PROBABILIDAD

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.

Muchos fenómenos naturales son aleatorios, pero existen algunos como el lanzamiento de un dado, donde el fenómeno no se repite en las mismas condiciones, debido a que la características del material hace que no exista una simetría del mismo, así las repeticiones no garantizan una probabilidad definida. En los procesos reales que se modelizan mediante distribuciones de probabilidad corresponden a modelos complejos donde no se conocen a priori todos los parámetros que intervienen; ésta es una de las razones por las cuales la estadística, que busca determinar estos parámetros, no se reduce inmediatamente a la teoría de la probabilidad en sí.

En 1933, el matemático soviético Andréi Kolmogórov propuso un sistema de axiomas para la teoría de la probabilidad, basado en la teoría de conjuntos y en la teoría de la medida, desarrollada pocos años antes por Lebesgue, Borel y Frechet entre otros.

Esta aproximación axiomática que generaliza el marco clásico de la probabilidad, la cual obedece a la regla de cálculo de casos favorables sobre casos posibles, permitió la rigorización de muchos argumentos ya utilizados, así como el estudio de problemas fuera de los marcos clásicos. Actualmente, la teoría de la probabilidad encuentra aplicación en las más variadas ramas del conocimiento, como puede ser la física (donde corresponde mencionar el desarrollo de las difusiones y el movimiento Browniano), o las finanzas (donde destaca el modelo de Black y Scholes para la valuación de acciones).

Definición según la frecuencia relativa y definición axiomática[editar · editar código]

Artículo principal: Axiomas de probabilidad.

La autodefinición axiomática de la probabilidad se define con base a sí misma (igualmente factible es sinónimo de igualmente autoprobable) se define la probabilidad estimada u honírica basada en la frecuencia relativa de aparición de un suceso S cuando  es muy grande. La probabilidad de un suceso es una medida que se escribe como

,

y mide con qué frecuencia ocurre algún suceso si se hace algún experimento indefinidamente.

La definición anterior es complicada de representar matemáticamente ya que  debiera ser infinito. Otra manera de definir la probabilidad es de forma axiomática esto estableciendo las relaciones o propiedades que existen entre los conceptos y operaciones que la componen.

Definición clásica de probabilidad[editar · editar código]

La probabilidad es la característica de un evento, que hace que existan razones para creer que éste se realizará.

La probabilidad p de que suceda un evento S de un total de n casos posibles igualmente

probables es igual a la razón entre el número de ocurrencias h de dicho evento (casos

favorables) y el número total de casos posibles n.

La probabilidad es un número (valor) que varia entre 0 y 1. Cuando el evento es imposible

se dice que su probabilidad es 0, si el evento es cierto y siempre tiene que ocurrir su probabilidad es 1.

La probabilidad de no ocurrencia de un evento está dada por q, donde:

Sabemos que p es la probabilidad de que ocurra un evento y q es la probabilidad de que no ocurra, entonces p + q = 1

Simbólicamente el espacio de resultados, que normalmente se denota por , es el espacio que consiste en todos los resultados que son posibles. Los resultados, que se denota por , etcétera, son elementos del espacio .

Probabilidad discreta[editar · editar código]

Este tipo de probabilidad, es aquel que puede tomar sólo ciertos valores diferentes

que son el resultado de la cuenta de alguna característica de interés.

Probabilidad continua[editar · editar código]

Una variable aleatoria es una función medible

que da un valor numérico a cada suceso en .

Función de densidad[editar · editar código]

Artículo principal: Función de densidad.

La función de densidad, o densidad de probabilidad de una variable aleatoria, es una función a partir de la cual se obtiene la probabilidad de cada valor que toma

la variable. Su integral en el caso de variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad. En el caso de variables aleatorias discretas la distribución de probabilidad se obtiene a través del sumatorio de la función de densi

La probabilidad mide las posibilidades de que cada uno de los posibles resultados en un suceso que depende del azar sea finalmente el que se de.

Por ejemplo: la probabilidad mide la posibilidad de que salga "cara" cuando lanzamos una moneda, o la posibilidad de que salga 5 cuando lanzamos un dado.

1.- Sucesos

Llamamos sucesos a los posibles resultados de una acción que depende del azar.

Distinguimos 3 tipos de sucesos:

Suceso posible: Es un resultado que se puede dar.

Por ejemplo, el 5 es un suceso posible cuando lanzamos un dado.

Suceso imposible: Es un resultado que no se puede dar.

Por ejemplo, el 7 es un suceso imposible cuando lanzamos un dado (el dado no tiene el número 7).

Suceso seguro: Es un resultado que siempre se va a dar.

Por ejemplo, "número menor de 7" es un suceso seguro cuando lanzamos un dado (cualquier número que salga al lanzar el dado será menor que 7).

2.- Probabilidades de los sucesos

Dentro de los sucesos posibles vamos a distinguir:

Suceso igual de probable: es aquel resultado que tiene la misma probabilidad que los demás:

Por ejemplo: cuando lanzamos una moneda, el suceso "cara" tiene las mismas probabilidades que el suceso "cruz".

Suceso muy probable: es aquel resultado que tiene muchas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas numeradas del 1 al 100, el suceso "sacar una bola con un número entre 1 y 98" tiene muchas probabilidades de ocurrir.

Suceso poco probable: es aquel resultado que tiene muy pocas probabilidades de darse:

Por ejemplo: en una bolsa con 100 bolitas, 99 blanca y 1 negra, el suceso "sacar la bolsa negra" tiene pocas probabilidades de ocurrir.

PROBABILIDAD 2

Probabilidad de sucesos

Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo: lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).

P(A) = 1/6 = 0,166

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).

b) Dos sucesos pueden ser iguales: en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elemntos comunes.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.

Su probabilidad será por tanto:

P(A L B) = 2 / 6 = 0,33

d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A L B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,

P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.

La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 2 / 6 = 0,333

P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto,

P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.

La probabilidad del suceso (A) es igual a :

P(A) = 3 / 6 = 0,50

Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:

P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50

Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":

P(B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:

P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto,

P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1

Ley de Laplace

Probabilidad de la unión de sucesos incompatibles

A  B = 

p(A  B) = p(A) + p(B)

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles

A  B ≠ 

p(A  B) = p(A) + p(B) − p(A  B)

Probabilidad condicionada

Probabilidad de la intersección de sucesos independientes

p(A  B) = p(A) · p(B)

Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes

p(A  B) = p(A) · p(B/A)

Probabilidad de la diferencia de sucesos

Teorema de la probabilidad total

p(B) = p(A₁) · p(B/A₁) + p(A₂) · p(B/A₂ ) + ... + p(A_n) · p(B/A_n )

Teorema de Bayes

0 ≤ p(A) ≤ 1

p(E) = 1

Ejercicios

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1La probabilidad de que salga el 7.

2La probabilidad de que el número obtenido sea par.

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea blanca?

Dos hermanos salen de casa. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1De que ambos vivan 20 años.

2De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

3De que ambos mueran antes de los 20 años.

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

1 Con una persona sin gafas.

2Con una mujer con gafas.

En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge a Lázaro llavero y, de él, una llave intenta abrir el trastero. Se pide:

1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?